Tarjan算法求解无向图割点

引言

在图论中，割点（也称为 articulation point）是一个重要的概念，它对于理解图的连通性有着深刻的意义。一个顶点如果去掉后会使得图不连通，则该顶点被称为割点。Tarjan算法是一种高效的方法来寻找无向图中的所有割点。本文将介绍Tarjan算法的基本思想、实现方法，并通过示例进行演示。

Tarjan算法概述

Tarjan算法基于深度优先搜索（DFS）的思想，利用栈结构和低点值（Low Point）的概念来快速找到所有的割点。其核心在于通过递归回溯的方式来标记节点的访问状态及更新每个顶点的低点值，从而判断该顶点是否为割点。

关键概念

根节点：图中有一个特殊节点作为根节点。
子树：从某个节点出发所能到达的所有节点构成的子集。
父节点：在DFS搜索过程中，每个节点的直接前驱称为父节点。
低点值（Low Point）：节点u的低点值是指能够通过一个边直接或间接访问到的最早的根节点的深度。

Tarjan算法步骤

初始化所有顶点的状态为未访问，并维护一个栈来保存路径上的节点。
从任意一个顶点开始执行DFS，进行深度优先搜索。
在递归过程中，更新每个节点的父节点和低点值。对于当前节点u的所有邻接节点v（不包括父节点），如果v没有被访问过，则将其压入栈中，并将v作为u的孩子；若v已被访问过但不在从u到根的路径上，则只更新u的低点值。
一旦发现一个回路（即存在某个顶点在DFS过程中重新回到之前的节点），则开始判断是否找到了割点：
- 如果当前节点是根节点且有超过两个子树，则该节点一定是割点。
- 若当前节点u不是根节点，但其低点值大于等于父节点的深度，则说明通过u可以将图分成两部分，此时u也是割点。

实现代码

下面给出一个简单的Tarjan算法实现示例（Python语言）：

def tarjan(g, root):
    index_counter = [0]
    lowlink = {}
    index = {}
    onstack = {}
    result = []

    def strongconnect(node):
        # 设置索引和lowlink初始值
        index[node] = index_counter[0]
        lowlink[node] = index_counter[0]
        index_counter[0] += 1
        onstack[node] = True

        for neighbor in g[node]:
            if not index.get(neighbor):
                strongconnect(neighbor)
                lowlink[node] = min(lowlink[node], lowlink[neighbor])
            elif onstack.get(neighbor):
                lowlink[node] = min(lowlink[node], index[neighbor])

        # 判断是否为割点
        if lowlink[node] == index[node]:
            result.append(node)

        onstack[node] = False

    for node in g:
        if not index.get(node):
            strongconnect(node)
    
    return result

示例分析

假设我们有以下无向图G：

  1 -- 2 -- 3
 /         \
4           5 -- 6

应用Tarjan算法，可以找到割点为节点2和节点5。

通过上述介绍，我们可以看到利用Tarjan算法求解无向图中的所有割点是一种简洁而有效的方法。此方法在实际的网络拓扑分析、数据流图优化等领域有着广泛的应用价值。