计算几何算法原理

计算几何是计算机科学的一个分支，主要研究几何对象（如点、线段、多边形等）在计算机中的表示和操作方法及其算法设计与分析。这些技术广泛应用于图形学、图像处理、机器人学等多个领域。本文将探讨一些基础的计算几何算法原理。

1. 点的位置关系判断

在二维平面中，我们常常需要判断两个点之间的相对位置或距离，这通常是基于向量和距离公式实现的。

向量表示法

给定两点 (P_1(x_1, y_1)) 和 (P_2(x_2, y_2))，我们可以定义一个向量 (\vec{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)) 来表示从点 (P_1) 到点 (P_2) 的方向。

距离公式

两点之间的距离可通过以下公式计算： [ d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

2. 线段的交点和相交性判断

在计算几何中，判定线段是否相交是一个基础问题。通常通过向量叉乘来实现。

向量叉乘

设两个向量 (\vec{u} = (x_1, y_1)) 和 (\vec{v} = (x_2, y_2))，其叉乘定义为 (u \times v = x_1y_2 - x_2y_1)。若结果大于0，则说明向量的旋转方向是顺时针；小于0则逆时针，等于0表示共线。

线段相交

给定两条线段 (AB) 和 (CD)：

• 将每条线段视为由两个端点构成。
• 判断每个端点在另外一条线段的同一侧（使用叉乘判断）；
• 检查是否有共线情况。

若上述条件均满足，则这两条线段相交。

3. 多边形的凸性检测

多边形是否为凸多边形是一个常用的问题，可以通过向量叉积来解决。对于每一对相邻顶点形成的边，检查所有其他边与这条边之间的叉乘结果是否一致（均为正或负）。

凸多边形判断

给定一个顶点序列 (P_1, P_2, \ldots, P_n)：

• 对于任意三个连续的顶点 (P_i, P_{i+1}, P_{i+2})，计算向量叉乘。
• 若所有叉乘结果符号一致，则该多边形为凸多边形。

4. 凸包算法

凸包是指包含给定点集的所有点中的最小封闭区域。常用算法有Graham扫描法和Jarvis步进法（也称为包裹机算法）。

Graham扫描法

1. 找到所有点中y坐标最小的点作为起始点。
2. 将其它点按极角排序，若角度相同则依据x坐标从小到大排列。
3. 从最左下角开始，依次检查相邻三个点之间的叉乘，去除凹进的点，最终保留凸多边形顶点。

Jarvis步进法

1. 找到所有点中y坐标最小且x坐标最小的点作为起始点。
2. 定义一个当前极点，从起始点开始逐步检查每条射线与相邻点的关系，直到回到起点为止。

以上便是计算几何中的几个基础算法原理概述。这些算法不仅在理论研究中有重要价值，在实际应用中也具有广泛的应用前景。