计算几何半平面交

引言

在计算几何学中，半平面交是一个重要的概念和工具，广泛应用于计算机图形学、地理信息系统、机器人路径规划等多个领域。本文将探讨半平面交的基本定义、性质以及算法实现。

基本定义与性质

定义

给定一个平面上的多个半平面（由直线及其一侧组成），其半平面交是指这些半平面在平面上的公共区域。例如，考虑两个半平面，分别位于某条直线的一侧和另一侧，则它们的交集可能是一个角、一条线段或为空集。

性质

1. 非空交集：若所有给定的半平面包含原点，则它们的交集必然非空。
2. 交集简化：如果半平面的数量较多，可以利用某些性质如共线性等进行简化处理。
3. 凸性：当所有半平面通过同一个点时，其交集必然是一个凸多边形。

算法实现

极角排序与夹角判断

首先，对于每条定义半平面的直线，确定其极角。通常情况下，可以先将原点到该直线上的任意一点向量进行归一化，并计算它的极角（相对于x轴）。通过这种排序方式可以确保处理顺序的一致性。

交点与边判断

1. 初始化：选择一个初始半平面作为起点。
2. 逐个加入：对于每个新的半平面，检查它是否能与当前的边界构成新的边界。
3. 边去除与添加：如果某条直线不再处于结果多边形上，则将其对应的边从当前链中删除。反之，若新引入了一条边，则添加。

伪代码

function halfPlaneIntersection(halfPlanes):
    # 极角排序半平面
    sort halfPlanes by their polar angles

    result = new chain()  # 初始化结果多边形链
    currentChain = result

    for each hp in halfPlanes:
        if hp is vertical:  # 处理特殊情况
            addVerticalEdge(currentChain, hp)

        else:
            prev = previousEdge(currentChain)
            next = nextEdge(currentChain)
            
            while angle(hp, prev) < -eps or (angle(prev, hp) == -angle(next, hp)):
                removeEdge(currentChain, prev)
                prev = previousEdge(currentChain)

            if prev is not next:
                addLineSegment(currentChain, hp, prev, next)

    return result

应用实例

地理信息系统

在GIS系统中，半平面交技术可用于生成区域边界。例如，在城市规划中确定保护区的边界时，可以通过半平面表示不同的限制条件（如距离河流、山丘等特定位置的距离），从而计算出最终允许建设区的形状。

计算机图形学

在计算机图形学领域，半平面交常用于碰撞检测和阴影算法。通过精确地处理半平面的交集，可以实现复杂场景下的高效可视化与交互操作。

结论

总之，理解并掌握半平面交的概念及其计算方法对于解决几何相关问题具有重要意义。无论是理论研究还是实际应用中，都可发现它作为一种强大的工具发挥着重要作用。