滑动窗口问题与单调栈结合

引言

在算法设计领域，滑动窗口技术和单调栈是两种非常实用且强大的工具。它们各自具有独特的应用场景和特点。然而，当我们将这两种技术结合起来时，可以解决更多复杂的问题，并提高解决方案的效率。

滑动窗口技术概述

滑动窗口是一种常用的算法设计技巧，在诸如寻找子数组（或子字符串）满足某种条件的情况下尤其有用。它通常通过在数组上维护一个固定大小的“窗口”来实现，随着窗口从数组的一端滑向另一端，根据需要调整窗口内的数据。

单调栈的基本概念

单调栈是一种动态的数据结构，主要用于解决那些需要维持元素有序性的场合。在一个单调栈中，无论是递增还是递减序列，都能通过特定的操作保持栈内元素的顺序不变。这种特性使得它在解决诸如最接近目标值、最大连续子数组等问题时非常有效。

结合应用实例

例1：找到最长不下降子序列

假设我们有如下一个整数列表 nums = [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0]，我们需要找出该列表中所有递增的子序列中最长的一个。使用滑动窗口与单调栈结合的方法可以高效解决此类问题。

1. 初始化：我们首先设定一个空的单调栈 stack = []
2. 遍历数组：对于每个元素 num 在数组 nums 中：
   • 如果当前元素大于栈顶元素，则将其添加到栈中。
   • 否则，找到第一个大于等于该元素的位置并替换之。
3. 结果输出：最终的单调栈即为最长不下降子序列。

例2：最大连续和问题

给定一个整数数组 nums = [-1, -2, -3, -4]。我们要找到长度为 k 的连续子数组的最大和，可以使用滑动窗口技术结合双端队列实现单调栈的特性来解决这个问题。

1. 初始化：维护两个变量 max_sum 用于保存最大和，current_sum 用于记录当前窗口内的和。
2. 遍历前 k-1 个元素：计算初始和并更新 max_sum。
3. 滑动窗口处理剩余元素：从第 k 个元素开始，逐步移动窗口：
   • 移除最左边的元素
   • 添加新元素到当前窗口中，并相应调整 current_sum
4. 结果输出：遍历结束后，max_sum 即为所求。

总结

滑动窗口与单调栈结合使用，在解决某些类型的问题时可以提供更优的解决方案。这种方法不仅能够简化问题的处理流程，还能提高算法的执行效率，特别适用于需要高效维护动态范围或区间信息的情况。