树状数组在区间求和

引言

树状数组（Binary Indexed Tree, BIT），也被称为Fenwick树，在处理大量数据的范围查询问题时表现出色。特别是在在线更新和区间求和这两种操作中，树状数组能够提供高效的解决方案。本文将详细介绍如何使用树状数组来实现区间求和。

树状数组的基础知识

什么是树状数组？

树状数组是一种基于二进制低位前缀和的高级数据结构，它主要用于快速更新和查询数组元素的累积和。这种数据结构具有O(log n)的时间复杂度，在大规模数据处理中表现出色。

工作原理

树状数组的核心在于一个假设：每个节点存储的是其覆盖范围内所有元素值的累积和。通过将索引与二进制低位前缀和相结合，可以快速地进行区间求和操作。

构建树状数组

我们以一个简单的例子来说明如何构建一个树状数组。

def lowbit(x):
    return x & -x

class BIT:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.tree = [0] * (n + 1)

    def update(self, idx, delta):
        while idx <= self.n:
            self.tree[idx] += delta
            idx += lowbit(idx)

    def query(self, idx):
        res = 0
        while idx > 0:
            res += self.tree[idx]
            idx -= lowbit(idx)
        return res

def create_bit(arr):
    n = len(arr)
    bit = BIT(n)
    for i in range(1, n + 1):
        bit.update(i, arr[i - 1])
    return bit

上述代码定义了一个基本的树状数组类BIT，包含构建、更新和查询的方法。

区间求和操作

在实际应用中，我们常常需要快速地进行区间求和。这里以一个具体的例子来展示如何利用树状数组实现这一功能：

def sum_range(bit, left, right):
    return bit.query(right) - bit.query(left - 1)

通过上述代码中的sum_range函数，我们可以轻松地计算给定区间的元素和。

应用场景

动态范围求和问题

例如，在一个不断更新的数组中，我们需要频繁地查询任意两个位置之间的数值总和。树状数组在这种情况下展现出极大的优势，因为它能够以O(log n)的时间复杂度完成动态更新与区间求和操作。

实际案例：LeetCode 307. 区域和检索 - 数组可变

假设给定一个数组nums = [1, 3, 5]。你需要实现两个功能：

1. 更新索引对应元素的值。
2. 求出索引范围内的总和。

通过树状数组，我们可以高效地解决上述问题。

总结

树状数组是处理大量数据时的一个有力工具，在区间求和与快速更新操作中展现出强大的性能。掌握其构建方法及应用技巧，能够有效提高代码的执行效率。