数组逆序对在归并排序中应用

引言

数组中的逆序对是指两个元素 ( (i, j) )，满足条件 ( i < j ) 且 ( a[i] > a[j] )。在算法设计与分析中，逆序对的计算是一个经典问题，在大数据处理和信息检索等领域具有广泛应用。本文将探讨如何利用归并排序高效地求解逆序对的数量。

归并排序简介

归并排序是一种经典的分治算法，通过递归将数组分成小块进行排序，然后合并有序子序列以达到整个数组的排序效果。其时间复杂度为 ( O(n \log n) )，适用于大规模数据的排序任务。

逆序对计算

在求解逆序对时，直接遍历所有元素的时间复杂度过高，通常会采用分治法来优化。归并排序不仅能够完成数组的排序工作，还能在合并过程中统计逆序对的数量，这得益于其递归分解和合并的特点。

逆序对的计算方法

分析过程

在执行归并操作时，假设我们有两个已经有序的子序列 ( A ) 和 ( B )，我们将遍历这两个子序列来寻找满足条件的逆序对。具体步骤如下：

1. 初始化计数器：定义一个变量 count 用于存储逆序对的数量。
2. 合并子序列：
   • 遍历两个有序数组中的元素，每次比较 ( A ) 和 ( B ) 当前指针所指向的元素大小。
   • 若当前 ( A[i] > B[j] )，说明从 ( j ) 位置到数组末尾的所有元素都比 ( A[i] ) 小，即这些元素与 ( A[i] ) 形成逆序对。因此更新 count 的值为 (end - i)。
   • 若当前 ( A[i] \leq B[j] )，则移动指针继续比较。

代码实现

以下是使用 Python 实现的归并排序与逆序对计数的示例：

def merge_sort_count(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr, 0
    
    mid = len(arr) // 2
    left_sorted, left_count = merge_sort_count(arr[:mid])
    right_sorted, right_count = merge_sort_count(arr[mid:])
    
    merged_arr, split_count = merge_and_count(left_sorted, right_sorted)
    
    total_count = left_count + right_count + split_count
    
    return merged_arr, total_count

def merge_and_count(left, right):
    count = 0
    result = []
    i, j = 0, 0
    
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            result.append(left[i])
            i += 1
        else:
            result.append(right[j])
            count += (len(left) - i)
            j += 1
    
    result += left[i:]
    result += right[j:]
    
    return result, count

# 示例
arr = [5, 4, 3, 2, 1]
sorted_arr, count = merge_sort_count(arr)
print(f"Sorted Array: {sorted_arr}")
print(f"Number of Inversions: {count}")

总结

通过在归并排序过程中同时计算逆序对数量，我们不仅能够高效地完成数组的排序任务，还能同步统计出逆序对的数量。这种方法结合了分治策略的优势，在实际应用中具有较高的效率和实用性。