基数排序算法介绍

算法背景与概述

基数排序是一种非比较型整数排序算法，其原理是将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数上的数字大小进行排序。由于整数的长度可能有差异，因此需要通过补零或调整对齐方式来确保所有整数具有相同的位数，这使得基数排序成为一种特别有效的排序方法。

基本原理

在基数排序中，我们从最低有效位（Least Significant Digit, LSD）开始排序，一直到最高有效位（Most Significant Digit, MSD）。每次按一位进行处理。具体的步骤如下：

1. 确定最大数的位数：首先找到待排序数组中的最大值，并确定其位数。
2. 分配桶：创建多个桶，数量等于基数，这里通常为10（因为是以十进制表示）。
3. 逐位处理：从最低有效位开始，每次将所有数放入对应的桶中。然后再从桶中取出数据重新放入数组中。
4. 重复操作：当当前的位数小于最大值的位数时，则继续进行下一位数的操作。

实现步骤

基数排序主要分为分配和收集两个过程：

1. 分配过程：

   • 选择一个数字的一位作为当前处理的位，如个位、十位等。
   • 将所有数值放到对应的桶里。如果当前位是X，则将数值放入编号为X的桶中。

2. 收集过程：

   • 按照桶号顺序从0到9依次取数（即按0, 1, 2…，9的顺序），并依次放入结果数组中。

这个过程重复进行直到所有位数处理完毕。

时间复杂度

基数排序的时间复杂度为O(nk)，其中n是待排序的数据个数，而k是数据中的最大位数。在大多数情况下，k远小于log2 n（即二进制表示的长度），所以基数排序的时间复杂性接近于线性。

空间复杂度

基数排序的空间复杂度为O(n+k)，其中n代表待排序数组的大小，k是基数（十进制下即为10）。因为需要额外的空间来存储数据到各个桶中，因此空间需求相对较大。

适用场景与限制

• 优点：基数排序的时间复杂度较低，特别适用于小范围数字或位数较多的数据。
• 缺点：对于非常大的整数来说，分配和收集过程可能会消耗大量内存。此外，若基数选取不当或者数据分布不均时，可能影响排序效率。

结合案例

假设我们有一个需要进行排序的数组[170, 45, 75, 90, 802, 24, 2, 66]。通过基数排序算法，首先确定最大值为802，则其位数为3。接下来按个位、十位和百位依次进行分配与收集。

第一次分配：按个位

• 桶0: [170, 45, 75, 90, 66]
• 桶1: [802]
• 桶2: [24, 2]

收集过程：

[170, 45, 75, 90, 66, 802, 24, 2]

第二次分配：按十位

• 桶0: [24]
• 桶1: []
• 桶2: [2, 75]
• 桶3: [90]
• 桶4: [170, 66]
• 桶5: []
• 桶6: []
• 桶7: []
• 桶8: [45]
• 桶9: []

收集过程：

[24, 2, 75, 90, 170, 66, 45, 802]

第三次分配：按百位

• 桶0: [2, 75]
• 桶1: []
• 桶2: [24]
• 桶3: []
• 桶4: []
• 桶5: [802]
• 桶6: [170, 66]
• 桶7: [90]
• 桶8: [45]
• 桶9: []

收集过程：

[2, 24, 75, 90, 170, 66, 45, 802]

最终得到的有序数组为：[2, 24, 45, 75, 90, 170, 66, 802]。

结语

基数排序作为一种非比较型排序算法，在特定场景下具有较高的效率和实用性。理解其工作原理及适用范围，可以帮助我们在实际问题中更合理地选择合适的排序算法。