合并区间问题的动态规划解决

引言

在计算机科学中，区间合并问题是常见的一个优化问题，在很多领域都有实际应用场景，比如时间表安排、资源调度等。本文将探讨如何利用动态规划的方法来有效地解决区间合并问题。

问题定义

给定一系列闭合区间[a, b]（其中 (a) 和 (b) 是整数且 (a < b)），目标是使用最少数量的非重叠区间覆盖所有这些给定的区间。例如，如果给定区间为 ({[1, 3], [2, 6], [8, 10]})，那么最小合并后的区间可以表示为 ({[1, 6], [8, 10]})。

动态规划解决方案

状态定义

我们用 (dp[i]) 表示前 (i) 个区间的最少非重叠区间数量。目标是找到 (dp[n])，其中 (n) 是所有给定区间的总数。

状态转移方程

对于每个区间 ([s, e])，我们需要检查在不与之前的某些区间重叠的情况下，如何用最少的非重叠区间覆盖当前区间及其之前的部分。

1. 直接合并：如果当前区间可以与最后一个处理过的区间进行合并，则更新状态。
2. 添加新区段：如果当前区间无法与任何已经处理过的区间合并，则需要增加一个新的区间段来覆盖当前区间，此时 (dp[i] = dp[i-1] + 1)。

具体的状态转移方程为： [ dp[i] = \min(dp[j]) + 1, \text{其中 } j < i \text{ 且 } [s_j, e_j] \text{ 能与当前区间合并} ]

算法步骤

1. 初始化：设置 (dp[0] = 0)，表示没有任何区间的最小非重叠区段数为零。
2. 遍历所有区间：对于每个区间，根据上述状态转移方程更新 (dp[i]) 的值。
3. 返回结果：最终的答案即为 (dp[n])，即使用最少的非重叠区段覆盖所有给定区间所需的数量。

示例

假设给定的区间列表为 ({[1, 2], [2, 6], [8, 10]})：

• 初始化 (dp) 数组：[dp = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0])
• 处理区间 ([1, 2])：
  • 直接覆盖，(dp[2] = dp[1] + 1 = 1)
• 处理区间 ([2, 6])：
  • 与前一个区间重叠，直接合并，(dp[6] = dp[2] + 1 = 2)
• 处理区间 ([8, 10])：
  • 不与任何已有区段重合，添加新段，(dp[10] = dp[9] + 1 = 3)

最终，我们得到 (dp[10] = 3)，表示需要三个非重叠区间来覆盖所有给定的区间。

实现代码

def minMeetingRooms(intervals):
    if not intervals:
        return 0
    
    starts, ends = [], []
    
    # 分离起始和结束时间点
    for interval in intervals:
        starts.append(interval[0])
        ends.append(interval[1])
        
    starts.sort()
    ends.sort()

    i = j = max_rooms = 0
    n = len(intervals)
    
    while i < n and j < n:
        if starts[i] < ends[j]:
            # 当前会议已经开始，需要一个新会议室
            max_rooms += 1
            i += 1
        else:
            # 当前结束的会议释放了一个会议室
            j += 1

    return max_rooms

总结

通过动态规划的方法，我们可以高效地解决区间合并问题。这种方法不仅能够找到最少非重叠区间来覆盖所有给定区间，还能为实际应用提供优化建议。