单调栈实现区间覆盖查询

在计算机科学中，区间覆盖查询问题是一个常见的应用场景，尤其在处理需要频繁进行区间操作的数据结构时尤为常见。为了解决这类问题，可以采用单调栈这种高效的数据结构来辅助完成任务。本文将详细介绍如何利用单调栈实现区间覆盖查询。

1. 区间覆盖查询的基本概念

区间覆盖查询是指给定一个数据序列和一系列的区间范围，查询每个区间的覆盖情况的问题。具体来说，对于给定的每一个询问区间，需要判断它是否被另一个或多个已知区间完全覆盖、部分重叠或者完全不相交。

2. 单调栈的基本原理

单调栈是一种常用的数据结构，用于解决一些需要维护元素顺序的问题，特别是在处理具有特定顺序条件（如递增或递减）的序列时表现尤为出色。其核心思想是利用栈来保持一个单调的序列，即要么始终递增，要么始终递减。

3. 单调栈的应用场景

在区间覆盖查询中应用单调栈的主要优势在于能够有效地维护和更新已有的区间范围，并且能够在常数时间内进行快速查询。这种高效性来源于对数据结构的精心设计与操作策略的选择。

4. 实现步骤

实现使用单调栈解决区间覆盖查询问题的过程可以分为以下几个步骤：

4.1 输入准备

• 首先，需要初始化一个区间列表，并将其按照起点进行排序。
• 定义两个栈：一个用于存储当前未被覆盖的区间的右端点（记为stack_right），另一个用于辅助操作（记为helper_stack）。

4.2 构建单调栈

• 遍历初始化后的区间列表，将每个区间的左端点依次推入helper_stack。
• 对于当前区间的右端点，首先检查是否能与上一个未覆盖的区间（即stack_right顶元素）相连接。如果可以，则弹出并更新相关栈；否则直接将其压入stack_right。

4.3 查询处理

• 当需要查询某个区间时，只需检查该区间的右端点是否存在于stack_right中即可判断其覆盖情况。
• 如果存在，则表示被完全覆盖或部分重叠；反之则为不相交。

5. 实例分析

假设我们有一个区间列表 [1, 3], [4, 6], [2, 8]，对其进行排序后得到 [1, 3], [2, 8], [4, 6]。根据上述步骤构建单调栈，并处理查询如 5 的覆盖情况。

5.1 构建过程

• 初始状态：stack_right = [], helper_stack = [1]
• 处理区间 [2, 8]: 推入helper_stack得到helper_stack=[1,2]，此时无法与stack_right相连接。
• 处理区间 [4, 6]: 此时stack_right = [2], helper_stack = [1,2,4]

5.2 查询处理

• 当查询为5时：检查5是否在stack_right中，存在表示被覆盖。

通过这种方式，我们可以高效地维护和更新区间覆盖状态，并快速响应各种查询需求。