动态规划是一种用于求解具有最优子结构问题的方法。它通过将一个复杂的问题分解为一系列较为简单的子问题来解决，并且这些子问题之间存在一定的依赖关系，即当前的最优解依赖于之前计算出的结果。在一些特定条件下，如状态变量线性变化时，我们可以利用动态规划中的状态转移方程进行优化处理。
在讨论具体的问题求解过程中，动态规划的核心在于定义一个或多个状态以及描述这些状态之间的转换方式。状态转移方程就是描述这种转换的具体数学表达式。其形式一般为：
[ f(i) = \min_{/max} { g(i, j) + f(j) } ]
其中 (f(i)) 表示以第 (i) 个状态结尾（或开始）的最优解；(g(i, j)) 则表示从状态 (j) 转移到状态 (i) 的代价。根据问题的不同，这里的最小值或最大值可能会有所不同。
在一些情况下，如资源分配、路径选择等问题中，状态之间的转换可以通过线性方式来实现，这时的状态转移方程可以进一步简化为：
[ f(i) = \min_{/max} { a_i x + b_i y + c_i z } ]
其中 (a_i, b_i, c_i) 代表不同决策对总成本的影响系数；(x, y, z) 则是决策变量。这种线性优化的形式便于使用动态规划来求解，尤其是在资源有限或需要在多个目标之间进行权衡时。
考虑经典的单源最短路径问题，在一个图中找到从起点到所有其他顶点的最短路径。这个问题可以通过构建一个动态规划模型来解决，其中每个状态表示到达某个节点的最短距离：
[ f[i] = \min_{j} { f[j] + w(j, i) } ]
其中 (w(j, i)) 表示从节点 (j) 到节点 (i) 的权重（距离）。遍历所有可能的路径，更新每个节点的状态直到没有更短的距离可寻。
另一种常见的应用是0/1背包问题。给定一个装包容量和若干个物品，每个物品有重量和价值。目标是在不超重的情况下最大化总价值。这里可以使用动态规划模型来求解：
[ f[i][w] = \max { f[i-1][w], v_i + f[i-1][w-w_i] } ]
其中 (v_i) 和 (w_i) 分别表示第 (i) 个物品的价值和重量。
动态规划通过状态转移方程有效地解决了许多优化问题。当状态间的关系可以简化为线性形式时，这种方法在计算效率方面具有明显的优势。合理选择状态和恰当的状态转移机制是应用动态规划的关键所在。