位运算技巧求解异或运算

在计算机科学中，位运算是一种操作二进制数的操作符。它对操作数每一位进行处理，并能以高效的方式执行各种逻辑和算术运算。本文将重点介绍如何利用位运算来解决异或（XOR）相关的问题。

异或运算的定义与性质

定义

异或运算是指，对于两个二进制数，如果两个相应的位相同，则结果为0；若不同则结果为1。用公式表示就是：

a ^ b = c (其中c[i] = a[i] XOR b[i])

例如：5 ^ 3的结果是2（0101 ^ 0011 = 0110）。

性质

交换律：a ^ b == b ^ a
结合律：(a ^ b) ^ c == a ^ (b ^ c)
自反性：任何数与自身异或等于0，即 a ^ a = 0
恒等性：任何数与0进行异或仍保持不变，即 a ^ 0 = a

利用位运算求解异或问题

1. 求一个数组中所有元素的异或值

给定一个整数数组nums，要求找出数组中的每个元素进行异或操作后的结果。例如：对于[3, 4, 5]，其异或结果为2（0011 ^ 0100 ^ 0101 = 0010）。

解法

可以利用位运算的自反性和结合律性质。假设数组中有n个元素nums[0] ^ nums[1] ^ ... ^ nums[n-1] = x，根据异或运算的性质，我们可以得到以下结论：

x ^ (nums[0] ^ nums[1] ^ ... ^ nums[n-1]) == 0
x ^ x == 0, 所以有:
(0 ^ nums[0]) ^ (0 ^ nums[1]) ^ ... ^ (0 ^ nums[n-1]) = 0

因此，最终结果为nums[0] ^ nums[1] ^ ... ^ nums[n-1]。

示例代码

def xor_all(nums):
    result = 0
    for num in nums:
        result ^= num
    return result

2. 求两个数组的异或值之和

给定两个整数数组nums1和nums2，求这两个数组所有元素相加后进行异或操作的结果。例如：对于[3, 4] 和 [5, 6]，最终结果为 10 ^ 11 = 7。

解法

直接对两个数组中的每个元素进行异或运算即可，即：

(nums1[0] ^ nums2[0]) ^ (nums1[1] ^ nums2[1]) ...

示例代码

def xor_sum(nums1, nums2):
    result = 0
    for i in range(len(nums1)):
        result ^= nums1[i] ^ nums2[i]
    return result

3. 求一个数组中某个范围内的异或值

给定一个整数数组nums，以及两个下标left和right（包含），要求返回从nums[left]到nums[right]范围内所有元素进行异或操作的结果。

解法

可以利用位运算的结合律性质来求解：

result = (0 ^ nums[0] ^ ... ^ nums[left-1]) ^ ((nums[0] ^ ... ^ nums[right]))

其中，前半部分可以通过预先计算来简化计算。

示例代码

def xor_range(nums, left, right):
    def prefix_xor(arr):
        result = 0
        for num in arr:
            result ^= num
        return result

    pre_xors = [0]
    cur = 0
    for num in nums:
        cur ^= num
        pre_xors.append(cur)

    return pre_xors[right + 1] ^ pre_xors[left]

以上就是使用位运算求解异或问题的一些技巧。通过理解并运用这些性质，我们能够高效地解决各种与异或操作相关的计算任务。