AVL树平衡因子调整方法

AVL树是一种自平衡二叉查找树，其得名于发明者Adelson-Velsky和Landis。AVL树的特点是每个节点都维护一个平衡因子，确保了树的高度尽可能小，并且使得树的搜索、插入和删除操作的时间复杂度保持在O(log n)级别。

AVL树的基本概念

平衡因子

AVL树中每个节点除了存储键值外还包含一个平衡因子。该因子定义为节点左子树高度与右子树高度之差，即：

• 如果平衡因子 = -1，则表明该节点的右子树比左子树高。
• 如果平衡因子 = 0，则表明左右子树高度相同。
• 如果平衡因子 = 1，则表明该节点的左子树比右子树高。

平衡操作

为了保持AVL树的平衡性，当执行插入或删除操作后，可能需要对受影响的部分进行旋转以调整树的高度和平衡因子。这些调整称为平衡操作。AVL树主要通过单旋（简单旋转）和双旋（复合旋转）两种方法来维护平衡。

平衡因子的调整方法

1. 插入操作后的平衡

在插入新节点后，可能需要对受影响的子树进行一系列旋转以保持平衡性。以下是几种常见情况：

情况1：左-右不平衡

假设在左侧子树中插入了一个新的节点，使得该节点成为它的父节点的左子节点，并且该父节点的平衡因子已经为-1（即原节点的左右子树高度差已为-1）。此时，需要执行一次旋转以调整平衡。

• 操作步骤：先对新节点与父节点进行单旋，再对父节点与其新的父节点进行单旋。这称为“左旋”后接“右旋”，通常记作LR旋转。

情况2：右-左不平衡

假设在右侧子树中插入了一个新的节点，使得该节点成为它的父节点的右子节点，并且该父节点的平衡因子已经为1。此时需要执行一次旋转以调整平衡。

• 操作步骤：先对新节点与父节点进行单旋，再对父节点与其新的父节点进行单旋。这称为“右旋”后接“左旋”，通常记作RL旋转。

2. 删除操作后的平衡

删除操作可能需要重新调整树的结构以保持AVL树的平衡性。

情况1：删除导致不平衡

当删除一个节点之后，其子树可能会失去平衡。此时，根据受影响节点的高度差异和子树状态来确定具体的旋转方案：

• 情况2.1：如果删除操作使得某个节点变为新根节点，则需要考虑该节点的左右子树高度差。

  • 如果该节点的左子树比右子树高（即平衡因子 > 0），则需进行一次单旋或双旋以重新调整平衡性。
  • 同理，如果右子树更高（平衡因子 < 0），则也需进行相应旋转。

情况2：调整节点的平衡因子

在删除操作中，每次递归地检查并更新当前节点及其父节点的平衡因子。如果某个节点失去一个子节点或被删除，则其平衡因子会改变；此时需要向上遍历重新计算受影响节点的平衡因子，并在必要时执行旋转。

结合实例理解

以插入新节点为例：假设我们正在将一个新的节点插入到一棵AVL树中，使得某个节点成为该插入操作后的新不平衡点。我们可以按照上述方法进行单旋或双旋来调整结构，从而保持整棵树的平衡性。

例如：

• 假设节点A和B之间的关系为：A->left=B, B->right=C，且此时B的平衡因子已经为1。
  • 当插入一个新节点到C的左侧时，导致B变为左-右不平衡状态。此时进行LR旋转即可恢复平衡。

通过这种调整方法，AVL树能够保持其高度平衡性，从而确保在多次操作后的效率依然很高。

以上就是AVL树平衡因子调整的基本方法及其应用场景解析。