无向图的存储结构

在计算机科学中，图形是一种基本的数据结构，广泛应用于网络设计、社交关系建模等领域。无向图是图形的一种类型，在这种类型的图中，边没有方向性，每条边连接两个节点，并且是双向的。为了方便计算和操作无向图，需要选择合适的数据结构来存储它。本文将介绍无向图的主要存储方式：邻接矩阵（Adjacency Matrix）和邻接表（Adjacency List），并分析它们各自的优缺点。

1. 邻接矩阵

定义

邻接矩阵是一种用于表示有限图的常用方法，使用一个二维数组来存储图中每一对顶点之间的边。对于具有n个节点的无向图G，其邻接矩阵是一个n×n的布尔或整型矩阵A，其中：

[ A[i][j] = 1 \quad \text{如果} \ (i, j) \in E(G)，即存在一条从顶点i到顶点j的边；否则，( A[i][j] = 0 )

由于无向图中任意两个节点之间的边可以双向出现，因此邻接矩阵是一个对称的矩阵。

存储结构

• 布尔类型：如果只关心是否存在某条边，则可以使用布尔类型的矩阵。
• 整型类型：如果有权重或成本，则可以存储这些值来表示每条边的特点。在无向图中，( A[i][j] ) 和 ( A[j][i] ) 的值相同。

优点

• 简单直观，查找任意两个节点之间的边是否存在的时间复杂度为 O(1)。
• 可以方便地获取每个顶点的度数（即连接该顶点的边的数量）。

缺点

• 存储空间开销较大：对于稀疏图，大部分矩阵元素均为0。
• 插入和删除节点的操作较为复杂，需要调整整个矩阵结构。

2. 邻接表

定义

邻接列表是一种用于存储无向图的数据结构。它为每个顶点维护一个链表，存储与该顶点直接相连的其他顶点信息（如边的权重）。对于无向图G中的顶点i，其对应的链表中包含所有与顶点i相邻的所有顶点。

存储结构

• 每个顶点有一个指向其邻接顶点列表的指针。
• 邻接顶点信息通常包括邻接顶点编号和可能存在的权重（如果图有边权）。

优点

• 空间效率高：对于稀疏图，只存储实际存在边的信息。
• 插入和删除节点操作简单快速，只需调整指针连接即可。

缺点

• 查找任意两个顶点之间的边是否存在的时间复杂度为 O(m)，其中m是图中的边数。与邻接矩阵相比，在稀疏图中效率较低。
• 获取顶点的度数需要遍历整个链表，时间复杂度为O(d)（d为该顶点的度）。

3. 总结

无向图的存储结构有邻接矩阵和邻接列表两种主要方式。选择哪种方式取决于具体的场景需求：在稠密图或经常进行边的操作中，邻接矩阵可能更为合适；而在稀疏图或频繁进行顶点操作时，则邻接表更加高效。

每种存储方法都有其适用的场景，在实际应用中应根据具体情况进行合理选择。